Materi MatDis (Matematika Diskrit) : HIMPUNAN

Definisi Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota. Kata “berbeda” dalam definisi tersebut adalah penting maksudnya adalah bahwa anggota himpunan tidak boleh sama. Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit adalah himpunan. Himpunan adalah benda/objek yang didefinisikan secara jelas. Himpunan adalah kumpulan objek-objek tertentu. Objek bisa terdiri dari elemen, himpunan kosong dan universal set. Himpunan adalah kumpulan dari elemen-elemen yang didefinisikan menjadi satu kesatuan yang jelas. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan jelas sehingga dengan tepat dapat diketahui objeknya dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Himpunan adalah kumpulan objek yang saling berkaitan (berhubungan). Himpunan adalah kumpulan objek-objek/elemen-elemen yang berasal dalam semesta yang sama. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda (Liu, 1986) yang dimaksud berbeda adalah elemen-elemen yang ada di dalam suatu himpunan dikoleksi berdasarkan kondisi , sifat atau keadaan yang sama atau berdasarkan aturan tertentu. Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Himpunan adalah kumpulan operasi dari objek-objek/elemen yang saling berkaitan. Himpunan adalah kumpulan objek tak terurut (unordered collection). Kita bisa mendapatkan 12 definisi himpunan yang berbeda yang bisa dikembangkan sehingga menghasilkan 12 definisi. Penyajiaan Himpunan 4 cara penyajiaan himpunan yaitu mengenumerasi elemen-elemennya, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan dan menggunakan diagram venn. Enumerasi Enumerasi adalah menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.cara ini dapat digunakan jika himpunan terbatas dan tidak terlalu besar. Contoh : Himpunan B yang berisi lima bilangan genap positif pertama adalah B = {4,6,8,10} Himpunan bilangan asli yang kurang dari 100 B = {1,2,3,...,....,99} Himpunan lima bilangan prima pertama C = {2,3,5,7,11} Simbol-simbol Baku Beberapa simbol baku untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain : P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,...} N = himpunan bilangan asli = {1,2,...} Z = himpunan bilangan bulat = {...,-2,-1,0,1,2,...} Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal disebut semesta. Disimbolkan dengan U. Contohnya, misalnya U = {1,2,3,4,5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1,3,5}. Notasi Pembentuk Himpunan Penyajian ini dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x } Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan. Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga. Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan. Setiap tanda ‘,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan. Contoh : A = { x | x ∈ P, x < 5 } A = {1,2,3,4,5} B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≥ 8 } B = {2,4,6,8} Notasi pembentuk himpunan sangat berguna untuk menyajikan himpunan yang anggota-anggotanya tidak mungkin dienumerasikan. Misalnya Q adalah himpunan bilangan rasional, dinyatakan sebagai : Q = {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0} M adalah himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit, M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit} Diagram Venn Di dalam diagram venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran sedangkan anggota himpunan lain di dalam lingkaran yang lain pula. Ada kemungkinan dua himpunan mempunyai anggota yang sama dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U yang tidak termasuk di dalam himpunan manapun digambarkan di luar lingkaran. Contoh : Misalkan U = {1,2,...,7,8}, A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,5,6,8}. A dan B mempunyai anggota sama yaitu 2 dan 5. Anggota U yang lain, yaitu 7 dan 4 tidak termasuk di dalam himpunan A dan B. Kardinalitas Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set). Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Kardinalitas adalah jumlah elemen di dalam himpunan. Kardinalitas adalah menunjukkan jumlah anggota himpunan. Jika terdapat himpunan A maka kardinalitas A ditulis n(A) atau |A|. Contoh : A = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka |A| = 8, dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19 B = {kucing, a, Amir, 10, paku} maka |B| = 5 , dengan elemen-elemen B (yang berbeda) adalah kucing, a, Amir, 10 dan paku. C = {a, {a}, {{a}} }, maka |C| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a} dan {{a}}. D = { x | x adalah faktor dari 12}, maka |D| = 6, dengan elemen-elemen D adalah 1, 2,3,4,6 dan 12 E = { x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1 }, maka |E| = 0, karena tidak ada bilangan positif yang kurang dari 1. F = { x | x adalah kucing di Bandung }, ini juga adalah himpunan berhingga, meskipun kita sangat sulit menghitung jumlah kucing di Bandung tetapi ada jumlah tertentu yang berhingga kucing di Bandung. Macam-macam Himpunan Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (empty set). Notasi : ∅ atau {} Himpunan {{ } }, {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {∅}, {∅,{∅}}. {∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu ∅. Istilah seperti kosong, hampa, nihil, ketiganya mengacu pada himpunan yang tidak mengandung elemen tetapi istilah nol tidak sama dengan ketiga istilah diatas sebab nol menyatakan sebuah bilangan tertentu. Contoh ; E = { x|x